数学I・数学A 第3問

$k^2$のΣ計算は嫌いなんです。出題しないで下さい。という我儘は言えないので何とか頑張ります。


(1) 初項が0でない等比数列$\{a_n\}$$a_1 + 2a_2 = 0$を満たしている。このとき,公比は${\displaystyle \frac{\mbox{[ アイ ]}}{\mbox{[ ウ ]}}}$である。


まず公比を求めろと言われてます。求めましょう。

初項を$a$、公比を$r$とすると

\begin{displaymath}a_1 = a\mbox{、}\;\;\;a_2 = ar\end{displaymath}

なので、与えられた条件から

\begin{displaymath}a_1 + 2a_2 = a + 2ar = a(1 + 2r) = 0\end{displaymath}

で、$a \neq 0$だから

\begin{eqnarray*}1 + 2r & = & 0 \\r & = & -\frac{1}{2}\end{eqnarray*}

となります。

${\displaystyle \frac{\mbox{[ アイ ]}}{\mbox{[ ウ ]}} =\frac{-1}{2}}$


${\displaystyle a_1 + a_2 + a_3 = \frac{9}{4}}$ならば,${\displaystylea_4 + a_5 + a_6 = \frac{\mbox{[ エオ ]}}{\mbox{[ カキ ]}}}$であり,

どうも和を求めろということらしいです。まずは${\displaystyle a_1 + a_2 + a_3 = \frac{9}{4}}$に着目しましょう。

\begin{eqnarray*}a_1 + a_2 + a_3 & = & a\frac{1 - r^3}{1 - r} \\& = & a\fra...... & = & a\cdot\frac{9}{8}\cdot\frac{2}{3} \\& = & \frac{3}{4}a\end{eqnarray*}

で、これが${\displaystyle \frac{9}{4}}$に等しいから

\begin{eqnarray*}\frac{3}{4}a & = & \frac{9}{4} \\a & = & 3\end{eqnarray*}

と初項$a$が求まります。

これで$a_4 + a_5 + a_6$が求められて

\begin{eqnarray*}a_4 + a_5 + a_6 & = & ar^3 + ar^4 + ar^5 \\& = & ar^3(1 + ......eft(-\frac{1}{8}\right)\cdot\frac{3}{4} \\& = & -\frac{9}{32}\end{eqnarray*}

です。

${\displaystyle a_4 + a_5 + a_6 = \frac{\mbox{[ エオ ]}}{\mbox{[ カキ]}} = \frac{-9}{32}}$

まあ普通は、素直に和の公式を用いて

\begin{eqnarray*}a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 & = & a\frac{1 - r^6}{1 - r......3\cdot\frac{63}{64}\cdot\frac{2}{3} \\& = & \frac{63}{32} \\\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}a_4 + a_5 + a_6 & = & \frac{63}{32} - (a_1 + a_2 + a_3) \\......ot 8}{32} \\& = & \frac{63 - 72}{32} \\& = & -\frac{9}{32}\end{eqnarray*}

とやるんでしょうか。お好みの方をどうぞ。


${\displaystyle \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} =57}$となるのは$n = \mbox{[ ク ]}$のときである。


${\displaystyle \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$なんてどうやって求めるんでしょう。

\begin{displaymath}\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} = \f......ts a_n + \cdots + a_1 a_2 \cdotsa_{n-1}}{a_1 a_2 \cdots a_n}\end{displaymath}

とやってしまうと泥沼ですね。

う〜ん。何かうまい方法はないか・・・と考えてたらありました。一般項から考えればいけそうです。

\begin{displaymath}a_n = 3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} =\frac{3}{(-2)^{n-1}}\end{displaymath}

なので

\begin{displaymath}\frac{1}{a_n} = \frac{(-2)^{n - 1}}{3} =\frac{1}{3}\cdot(-2)^{n-1}\end{displaymath}

となります。

つまり${\displaystyle \left\{\frac{1}{a_n}\right\}}$は初項${\displaystyle\frac{1}{3}}$、公比-2の等比数列だったのです。

いやあビックリ。こういう問題を解いたことがある人にはお馴染みの事実なんでしょうが、私は初めてだったので。

感動もさめやらぬまま計算を続けると

\begin{eqnarray*}\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} & = & ......}\cdot\frac{(-2)^n - 1}{-2 -1} \\& = & \frac{(-2)^n - 1}{-9}\end{eqnarray*}

です。これが57に等しくなるのは

\begin{eqnarray*}\frac{(-2)^n - 1}{-9} & = & 57 \\(-2)^n - 1 & = & 57\cdot(......\cdot(-9) + 1 \\& = & -513 + 1 \\& = & -512 \\n & = & 9\end{eqnarray*}

となって$n$が求まります。

$n = \mbox{[ ク ]} = 9$


(2) $b_n = pn + q$で表される数列$\{b_n\}$に対して,初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$b_7 = 1$$S_{12} = 10$ならば,${\displaystyle p =\frac{\mbox{[ ケ ]}}{\mbox{[ コ ]}}}$${\displaystyle q =\frac{\mbox{[ サシ ]}}{\mbox{[ ス ]}}}$であり,


二つの未知数$p$$q$を含む数列$\{b_n\}$に対して、二つの条件$b_7 = 1$$S_{12} = 10$が与えられました。

二つの未知数に二つの条件。未知数求まるはずですね。求めましょう。

まず

\begin{displaymath}b_7 = 7p + q = 1 \cdots (1)\end{displaymath}

が言えます。

次に$S_{12}$を考えましょう。

\begin{eqnarray*}b_1 & = & p + q \\b_2 & = & 2p + q \\& \vdots & \\b_{11} & = & 11p + q \\b_{12} & = & 12p + q\end{eqnarray*}

と並べてみると

\begin{displaymath}S_{12} = b_1 + b_2 + \cdots + b_{11} + b_{12} = (1 + 2 + \cdots + 11 + 12)p + 12q\end{displaymath}

だと解るでしょう。で、

\begin{displaymath}1 + 2 + \cdots + 11 + 12 = \sum_{k = 1}^{12} k = \frac{12\cdot(12 +1)}{2} = 6\cdot13 = 78\end{displaymath}

なので

\begin{displaymath}S_{12} = 78p + 12q = 10 \cdots (2)\end{displaymath}

となります。

$\mbox{(1)}\times 12 - \mbox{(2)}$から

\begin{displaymath}\begin{array}{rccccr}& 84p & + & 12q & = & 12 \\-) & 78p & + & 12q & = & 10 \\ \hline& 6p & & & = & 2\end{array}\end{displaymath}

\begin{eqnarray*}6p & = & 2 \\p & = & \frac{1}{3}\end{eqnarray*}

$p$が求まり、これを(1)に代入して

\begin{eqnarray*}7\cdot\frac{1}{3} + q & = & 1 \\q & = & 1 - \frac{7}{3} \\& = & -\frac{4}{3}\end{eqnarray*}

$q$が求まります。

${\displaystyle p = \frac{\mbox{[ ケ ]}}{\mbox{[ コ ]}} = \frac{1}{3}}$${\displaystyle q =\frac{\mbox{[ サシ ]}}{\mbox{[ ス ]}} = \frac{-4}{3}}$

$S_{12}$は違う求め方もできます。というか、これから解説する求め方が本流でしょう。

どうやるかというと等差数列の和を用います。実は、なんと、$\{b_n\}$は等差数列なのです。

「ウソだああ」という疑り深い人のためにやってみせましょう。

\begin{displaymath}b_n = pn + q = p(n - 1) + p + q = p + q + (n - 1)p\end{displaymath}

はい。これは初項$p+q$、公差$p$の等差数列を表してますね。

そして、等差数列の和が

\begin{displaymath}\frac{\mbox{(初項)} + \mbox{(末項)}}{2}\times\mbox{(項数)}\end{displaymath}

で表されることを御存知であれば

\begin{eqnarray*}S_{12} & = & \frac{b_1 + b_{12}}{2}\cdot 12 \\& = & \frac{......q)}{2}\cdot 12 \\& = & (13p + 2q)\cdot 6 \\& = & 78p + 12q\end{eqnarray*}

のように$S_{12}$を求めることが可能です。まあ何でも求まれば良いです。


${\displaystyle S_1 + S_2 + \cdots + S_{12} = \frac{\mbox{[ セソ]}}{\mbox{[ タ ]}}}$である。


$S_{12}$を求めるときにズラーっと並べて眺めた方は

\begin{displaymath}S_n = p\cdot\frac{n(n+1)}{2} + nq\end{displaymath}

というのが感覚的に解りますね。等差数列の和を用いた方は

\begin{eqnarray*}S_n & = & \frac{b_1 + b_n}{2} n \\& = & \frac{(p+q) + (pn ...... & \frac{p(n+1) + 2q}{2}n \\& = & p\cdot\frac{n(n+1)}{2} + nq\end{eqnarray*}

とすれば解るでしょう。

だから

\begin{displaymath}S_1 + S_2 + \cdots + S_{12} = \sum_{k=1}^{12} \left\{p\cdot......ht\} = p\sum_{k = 1}^{12}\frac{k(k+1)}{2} + q\sum_{k=1}^{12} k\end{displaymath}

です。あとはこれをガリガリ計算しましょう。

まず

\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{12}\frac{k(k+1)}{2} & = & \frac{1\cdot 2 + 2\cdot......brace{120 + 100}_{220} + 144 \\& = & 220 + 144 \\& = & 364\end{eqnarray*}

です。どうだ!

続いて

\begin{displaymath}\sum_{k=1}^{12} k = \frac{12\cdot (12+1)}{2} = 6\cdot 13 = 78\end{displaymath}

なので

\begin{eqnarray*}S_1 + S_2 + \cdots + S_{12} & = & p\sum_{k = 1}^{12}\frac{k(k......dot 4}{3} \\& = & \frac{364 - 312}{3} \\& = & \frac{52}{3}\end{eqnarray*}

と値が求まります。

${\displaystyle S_1 + S_2 + \cdots + S_{12} = \frac{\mbox{[ セソ]}}{\mbox{[ タ ]}} = \frac{52}{3}}$

「この解き方が王道だ!!」と言いたいんですが、言ったら何かを疑われそうなので言いません。そうですね、はい、Σの公式を用いろと仰りたいんでしょう。そうします。

\begin{eqnarray*}S_n & = & p\cdot\frac{n(n+1)}{2} + qn \\& = & \frac{p}{2}n......n + qn \\& = & \frac{p}{2}n^2 + \left(\frac{p}{2} + q\right)n\end{eqnarray*}

だから

\begin{displaymath}S_1 + S_2 + \cdots + S_{12} = \frac{p}{2}\sum_{k=1}^{12} k^2 +\left(\frac{p}{2} + q\right)\sum_{k=1}^{12} k\end{displaymath}

となります。ここで公式

\begin{displaymath}\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\\end{displaymath}

を記憶の片隅から引っ張り出して

\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{12} k^2 & = & \frac{1}{6}\cdot 12\cdot (12 + 1)(2......frac{1}{6}\cdot 12\cdot 13 \cdot 25 \\& = & 2\cdot 13\cdot 25\end{eqnarray*}

で、$k$の方は

\begin{displaymath}\sum_{k=1}^{12} k = \frac{12(12 + 1)}{2} = 6\cdot 13\end{displaymath}

なので

\begin{eqnarray*}S_1 + S_2 + \cdots + S_{12} & = & \frac{p}{2}\cdot 2\cdot 13\......\cdot 3) \\& = & \frac{13\cdot 4}{3} \\& = & \frac{52}{3}\end{eqnarray*}

と値が求まります。

どうして最初は強引に計算したかというと

\begin{displaymath}\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\\end{displaymath}

をキレイさっぱり忘れたからです。

「公式を忘れたら導こう」というのが基本スタンスですが、この公式は導けません。教科書で確認して欲しいんですが、この公式は天から降ってきます。そうして降ってきたものを数学的帰納法で確認するだけです。

だから、この公式を必要とする問題にぶつかったときに、覚えてなかったら一巻の終わりです(今回は$n$が小さかったので、力づくで何とかなりました)。こういう「数学は暗記教科だ」という凡庸な主張に根拠を与えてしまう出題は、極力避けた方が良いのではと思います。

さて、ここまで偉そうに言っておきながら、何で

\begin{displaymath}\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\end{displaymath}

は用いてるかというと、これは導けるからです。

これは初項1、公差1の等差数列の和と見れば良いので、等差数列の和

\begin{displaymath}na + \frac{n(n-1)}{2}d\end{displaymath}

$a = 1$$d = 1$を代入して

\begin{displaymath}n\cdot 1 + \frac{n(n - 1)}{2}\cdot 1 = n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{2n+ n^2 -n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}\end{displaymath}

です。

そして等差数列の和も導けます。去年や一昨年の解答を参照して下さい。


せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 2002年1月20日(日)
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