数学I・数学A 第2問 [1]

出題者が言いたいことは何だったのか。むちゃくちゃ悩みます。


[1] $a$$b$を実数とし,$x$の整式$A$$B$

\begin{displaymath}A = x^2 + ax + b\mbox{,}\;\;\;B = x^2 + x + 1\end{displaymath}

とする。ただし,$A$$B$は等しくないものとする。

(1) 等式

\begin{displaymath}A^2 + B^2 = 2x^4 + 6x^3 + 3x^2 + cx + d\end{displaymath}

が成り立つとき,$a = \mbox{[ ア ]}$$b = -\mbox{[ イ ]}$$c = -\mbox{[ウ ]}$$d = \mbox{[ エ ]}$である。


いきなりゴリゴリ計算したひと手を挙げて。ハイ、いかんですな。工夫がありません。普通は$x$$1$やら$0$やらを代入して、係数を比較します。

しかしなんと!この問題 工夫しても無駄なんです。計算するしかないのです。いやはや。とほほ。

どうやって計算しても良いですが、ここでは下のようにしときます。

A^2の計算 B^2の計算

これで

\begin{eqnarray*}A^2 + B^2 & = & \{x^4 + 2ax^3 + (a^2 + 2b)x^2 + 2abx + b^2 \} ...... = & 2x^4 + (2a +2) x^3 + (a^2+2b+3) x^2 + (2ab + 2) x + b^2 + 1\end{eqnarray*}

が計算できました。

そしてこれが$2x^4 + 6x^3 + 3x^2 + cx + d$に等しいならば、係数を比較して

\begin{eqnarray*}2a + 2 & = & 6 \\a^2 + 2b + 3 & = & 3 \\2ab + 2 & = & c \\b^2 + 1 & = & d
\end{eqnarray*}

が成り立つます。

上から順番に解いていくと

\begin{eqnarray*}2a + 2 & = & 6 \\a + 1 & = & 3 \\a & = & 2\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}a^2 + 2b + 3 & = & 3 \\2^2 + 2b + 3 & = & 3 \\4 + 2b & = & 0 \\b & = & -2\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}2ab + 2 & = & c \\c & = & 2\cdot 2\cdot (-2) + 2 \\c & = & -6\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}b^2 + 1 & = & d \\d & = & (-2)^2 + 1 \\d & = & 5\end{eqnarray*}

とうまい具合に$a$$b$$c$$d$が求まります。

$a$ = [ ア ] = 2、$b$ = -[ イ ] = -2、$c$ = -[ ウ ] = -6、$d$ = [ エ ] = 5


(2) 等式

\begin{eqnarray*}& & A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \\& = & \{(a-1)x + (b-1)\}\{\mbox{[ オ ]}x^2 + (a + \mbox{[ カ ]})x + b + 1 \}\end{eqnarray*}

を考える。$A-B$$x-1$で割り切れるのは[ キ ]のときであり,また,$A+B$$x-1$で割り切れるのは[ ク ]のときである。よって$A-B$$A+B$が同時に$x-1$で割り切れることはない。ただし,[ キ ],[ ク ]については,次の(0)〜(4)の中から当てはまるものをそれぞれ一つずつ選べ。

(0) $a + b = 0$ (1) $a - b = 0$ (2) $a + b -2 = 0$
(3) $a + b + 4 = 0$ (4) $a - b - 2 = 0$  

$A^2 - B^2$が出てきました。今度はひと工夫あって、$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$と因数分解されてます。「$A^2 + B^2$を計算するのは大変だけど、$A^2 - B^2$は因数分解できるから楽なんだぞー」と出題者は言いたかったんでしょうか?

その疑問は置いといて問題を解き続けると

\begin{displaymath}A + B = (x^2 + ax + b) + (x^2 + x + 1) =2x^2 + (a + 1)x + b + 1\end{displaymath}

で[ オ ]、[ カ ]が埋まります。

$ \mbox{[ オ ]}x^2 + (a + \mbox{[ カ ]})x + b + 1 $ = $ 2x^2 + (a + 1)x + b + 1 $

だらだらと書いてある問題文を読み続けると、どうも$A-B$$A+B$$x-1$で割り切れる条件を知りたいようです。教えてあげましょう。

$f(x) = A-B = (a-1)x + (b-1)$$g(x) = A+B =2x^2 + (a+1)x + b+1$とおけば

\begin{eqnarray*}A-B\mbox{が}x-1\mbox{で割り切れる} & \Longleftrightarrow & f(1......\mbox{が}x-1\mbox{で割り切れる} & \Longleftrightarrow & g(1) = 0\end{eqnarray*}

がいえます。「因数定理」ってやつです。

だから、$A-B$$x-1$で割り切れるのは$f(1)=(a-1) + (b-1) = a + b -2 =0$のときで、$A+B$$x-1$で割り切れるのは$g(1)=2 + (a + 1) + (b + 1) = a + b + 4 = 0$のときです。

答 [ キ ] = (2)、[ ク ] = (3)


したがって,$A^2 - B^2$$(x - 1)^2$で割り切れるのは,$A+B$$(x - 1)^2$で割り切れる場合である。このとき

\begin{displaymath}a = -\mbox{[ ケ ], } b = \mbox{[ コ ], } A^2 - B^2 = \mbox{[ サシス ]}x(x-1)^2\end{displaymath}

となる。


まず解きますか。要するに$A+B$$(x - 1)^2$で割り切れるときの$a$$b$$A^2 - B^2$を求めろと言われてます。

$A+B$$(x - 1)^2$で割り切れるなら

\begin{displaymath}A+B = 2x^2 + (a+1)x + b+1 = k(x-1)^2\end{displaymath}

と書けます。それで$x^2$の係数を比べれば$k = 2$は解るでしょう。

つまり

\begin{eqnarray*}2x^2 + (a+1)x + b+1 & = & 2(x-1)^2 \\& = & 2(x^2 - 2x + 1) \\& = & 2x^2 - 4x + 2\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

両辺比べて、$a+1 = -4$$b+1 = 2$すなわち$a = -5$$b = 1$です。

$a = -\mbox{[ ケ ]} = -5$$b = \mbox{[ コ ]} = 1$

このとき

\begin{eqnarray*}A^2 - B^2 & = & (A-B)(A+B) \\& = & \{(a-1)x + (b-1)\}\cdot ......^2 \\& = & 2\{(-5-1)x + (1-1)\}(x-1)^2 \\& = & -12x(x-1)^2\end{eqnarray*}

です。

$A^2 - B^2 = \mbox{[ サシス ]}x(x - 1)^2 = -12x(x-1)^2$

$a$$b$の求め方は他にも色々あります。例えば、

\begin{displaymath}g(x)\mbox{が}(x-1)^2\mbox{で割り切れる} \Longleftrightarrow g(1) = 0 \mbox{かつ} g'(1) = 0\end{displaymath}

を御存じであれば、$g'(x) = 4x + a+1$なので$g'(1) = 4 + a + 1 = a + 5 = 0$から$a = -5$が解ります。ここで前の設問で求めた$a + b + 4 = 0$を使えば$b = 1$も求まります。

これで解けました。ここからは、またまた雑談です。

問題文の最後の方で「したがって,$A^2 - B^2$$(x - 1)^2$で割り切れるのは,$A+B$$(x - 1)^2$で割り切れる場合である。」と鼻息荒く述べてます。大した真理とも思えないのに何で力入ってるんだろう?と考えてたら ようやく題意が解りました。

この問題もともとは

$A = x^2 + ax + b$$B = x^2 + x + 1$とする。

$A^2 - B^2$$(x - 1)^2$で割り切れるとき$a$$b$の値を求めよ。

だったんです。それでそれをセンター試験レベルにするために誘導をつけてたんです。ところができあがってみると設問数が少なかった。それで困ってしまって$A^2 + B^2$を求めるどうでも良い小問がついたと。なあんだ。

でも出題者さま、詰まらない小問を付けるのはおよしになられた方が良いのではないでしょうか。センター試験の格が下がるというものでございます。


せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 2002年11月4日(月)