数学II・数学B 第2問 [2]

第1問[2]に続いて変数を置き換える問題。
三角関数と指数・対数関数の問題は、変数を置き換えて単純な問題に帰着させるパターンが圧倒的に多いということを物語ってます。

[2] 関数$ y=3\sin\theta - 2\sin^3\theta\quad (0\Deg \leqq \theta \leqq 210\Deg)$の最大値と最小値を求めたい。そのため$ \sin\theta = x$とおくと,$ y$
$\displaystyle y = 3x - 2x^3$
と表される。$ x$の動く範囲は
$\displaystyle \frac{\mbox{[ ケコ ]}}{\mbox{[ サ ]}}\leqq x \leqq \mbox{[ シ ]}$
であるから,

$ x$の範囲を聞かれてます。$ 0\Deg\leqq\theta\leqq 210\Deg$での$ \sin\theta$が取り得る値を求めれば良いですね。
私はいつも下みたいな図を書いて考えてます。
sinの取り得る値の範囲
これから$ \sin\theta$の取り得る値、すなわち$ x$の範囲は
$\displaystyle \frac{-1}{2}\leqq x \leqq 1$
だと解ります。
$ \frac{\mbox{[ ケコ ]}}{\mbox{[ サ ]}}={\displaystyle \frac{-1}{2}}\leqq x \leqq1=\mbox{[ シ ]}$

$ y$$ {\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{\mbox{[ ス ]}}}}$のとき最大値$ \sqrt{\mbox{[ セ ]}}$をとり,$ {\displaystyle x = \frac{\mbox{[ ソタ]}}{\mbox{[ チ ]}}}$のとき最小値$ {\displaystyle \frac{\mbox{[ ツテ]}}{\mbox{[ ト ]}}}$をとる。

変数の置き換えで$ \theta$を消して、単なる最大・最小問題に帰着しました。微分して増減表を書いて、最大値・最小値を求めましょう。
まずは微分から。
$\displaystyle y'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3 - 6x^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -6\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -6\left(x + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$  
となり、$ -\frac{1}{2}\leqq x \leqq 1$での増減表は下記になります。
$\displaystyle \begin{array}{c\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c}x & -\fr......iney' & + & + & 0 & - & - \\  \hliney & & \nearrow & & \searrow &\end{array}$
これで$ {\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{2}}}$のときに$ y$が最大となることが解りました。最大値を求めましょう。
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3x - 2x^3$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle x(3 - 2x^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left\{3 - 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right\}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left(3 - 2\cdot\frac{1}{2}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{2}$  
$ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mbox{[ ス ]}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}},\qquad\sqrt{\mbox{[ セ ]}} = \sqrt{2}$
最小となるのは$ {\displaystyle x = -\frac{1}{2}}$$ x =1$のときのどちらかですが、計算してみないと解りません。両方の値を求めます。
まずは$ x =1$のとき。
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x(3 - 2x^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1(3 - 2\cdot 1^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\cdot 1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
続いて$ {\displaystyle x = -\frac{1}{2}}$のとき。
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x(3 - 2x^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}\left\{3 - 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2\right\}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}\left(3 - 2\cdot\frac{1}{4}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}\left(3 - \frac{1}{2}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{5}{4}$  
これで$ {\displaystyle x = -\frac{1}{2}}$のとき最小値$ {\displaystyle-\frac{5}{4}}$を取ることが解ります。
$ \frac{\mbox{[ ソタ ]}}{\mbox{[ チ]}} = {\displaystyle \frac{-1}{2}},\qquad \frac{\mbox{[ ツテ ]}}{\mbox{[ ト]}} ={\displaystyle \frac{-5}{4}}$

$ \theta$の関数としては,$ y$
$\displaystyle \theta$ $\displaystyle =$   [ ナニ ]$\displaystyle \Deg$   および$\displaystyle \quad\theta=$[ ヌネノ ]$\displaystyle \Deg$   のとき最大    
$\displaystyle \theta$ $\displaystyle =$   [ ハヒフ ]$\displaystyle \Deg$   のとき最小である。    
$ {\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{2}}}$となる$ \theta$の値と、$ {\displaystyle x = -\frac{1}{2}}$となる$ \theta$の値を求めれば良いです。
$ {\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{2}}}$となるのは、図を書くと
最大となるシータ
こうなって$ \theta = 45\Deg,\quad 135\Deg$のときです。
答 [ ナニ ]$ \Deg = 45\Deg,$   [ ヌネノ ]$ \Deg = 135\Deg$
$ {\displaystyle x = -\frac{1}{2}}$となるのは、同様に図を書いて考えて
最小となるシータ
$ \theta = 210\Deg$のときです。
答 [ ハヒフ ]$ \Deg = 210\Deg$

せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 2001年7月8日(日)
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