数学II・数学B 第1問 [2]

「教科書見たことありますか?」と聞かれてます。

[2] 方程式${\displaystyle \frac{4}{(\sqrt{2})^x}} + {\displaystyle \frac{5}{2^x}} = 1$の解$x$を求めよう。
\begin{displaymath}X = \frac{1}{(\sqrt{2})^x}\end{displaymath}………(1)
とおくと,$X$の方程式$\mbox{[ソ]}X^2 + \mbox{[タ]}X - 1 = 0$が得られる。
一方,(1)より$X > \mbox{[チ]}$である。したがって$X=\frac{\mbox{[ツ]}}{\mbox{[テ]}}$を得る。これから,求める$x$$x = \mbox{[ト]}\log_2\mbox{[ナ]}$となる。

この問題は何のためにあるのか?存在意義が不明です。期末試験でも、もう少し気の利いた問題が出るでしょう。
$X = {\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{2})^x}}$とおくと
\begin{displaymath}X^2 = \frac{1}{\{(2^\frac{1}{2})^x\}^2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}\cdot x\cdot 2}} = \frac{1}{2^x} \end{displaymath}
だから
\begin{eqnarray*}\frac{4}{(\sqrt{2})^x} + \frac{5}{2^x} & = & 1 \\4X + 5X^2 & = & 1\\5X^2 + 4X - 1 & = & 0\end{eqnarray*}
が得られる。
$\mbox{[ソ]}X^2 + \mbox{[タ]}X - 1 = 5X^2 + 4X - 1$
また$(\sqrt{2})^x > 0$であるから$X = {\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{2})^x}} > 0$である。
$X > 0$ ([チ] = 0)
これを考慮すると
\begin{displaymath}5X^2 + 4X - 1 = (X+1)(5X-1) = 0\end{displaymath}
から$X = {\displaystyle \frac{1}{5}}$が得られる。
$X=\frac{\mbox{[ツ]}}{\mbox{[テ]}} = {\displaystyle \frac{1}{5}}$
このとき
\begin{eqnarray*}\frac{1}{(\sqrt{2})^x} & = & \frac{1}{5} \\(\sqrt{2})^x & ......} & = & 5 \\\frac{x}{2} & = & \log_2 5 \\x & = & 2\log_2 5
\end{eqnarray*}
$x = \mbox{[ト]}\log_2\mbox{[ナ]} = 2\log_2 5$
感想述べます。
問題として
${\displaystyle \frac{4}{(\sqrt{2})^x}} + {\displaystyle \frac{5}{2^x}} = 1$を解け
があったとき「$X = {\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{2})^x}}$とおけば解けそうだな」と気付くのが数学の力。そこからは算数。ここでは変数の置き方が明示されてるので単なる算数の問題です。
「大学で学問を修めようという人間に対して、算数の力を問うとは何事か!」と一喝して良いです。これはセンター試験だからぐっとこらえて解きますが、二次試験だったら席を立ちます。その大学には何も期待できない。

せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 2001年2月2日(金)
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