数学II・数学B 第1問 [1]

$\tan\theta$の半角公式を求める問題です。
第1問 (選択問題)(配点 30)
[1]
(1) $0\mbox{°}<\theta<90\mbox{°}$とする。
\begin{eqnarray*}\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} & = & \frac{\mbox{[ア]}}{......rac{\mbox{[ウエ]}\cos\mbox{[オ]}\theta}{\sin\mbox{[カ]}\theta}\end{eqnarray*}
であり,

ここはどんどん計算してきましょう。どーやってもいいです。
\begin{eqnarray*}\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} & = & \frac{\sin\theta}{\co......ac{1}{\frac{1}{2}\sin 2\theta} \\& = & \frac{2}{\sin 2\theta}\end{eqnarray*}
${\displaystyle \tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\mbox{[ア]}}{\sin\mbox{[イ]}\theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}}$
\begin{eqnarray*}\tan\theta - \frac{1}{\tan\theta} & = & \frac{\sin\theta}{\co......}{2}\sin 2\theta} \\& = & \frac{-2\cos 2\theta}{\sin 2\theta}\end{eqnarray*}
${\displaystyle \tan\theta - \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\mbox{[ウエ]}\cos\mbox{[オ]}\theta}{\sin\mbox{[カ]}\theta} = \frac{-2\cos 2\theta}{\sin 2\theta}}$

これらを用いて$\tan 15\mbox{°}$を求めると
\begin{displaymath}\tan 15\mbox{°} = \mbox{[キ]} - \sqrt{\mbox{[ク]}} \end{displaymath}
である。

「これらを用いて」とあるので上の計算結果をじーっと見ます。こう変形したらいかがでしょう。
\begin{eqnarray*}\left(\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}\right) + \left(\tan\t......eta} \\\tan\theta & = & \frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta}\end{eqnarray*}
$\tan$の半角公式が導出されたので、$\tan 15\mbox{°}$が求められますね。淡々と計算しましょう。
\begin{displaymath}\tan 15\mbox{°} = \frac{1 - \cos 30\mbox{°}}{\sin 30\mbox{°}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 - \sqrt{3} \end{displaymath}
$\tan 15\mbox{°} = \mbox{[キ]} - \sqrt{\mbox{[ク]}} = 2 - \sqrt{3}$

(2) $\theta$$15\mbox{°}\leq\theta\leq 60\mbox{°}$の範囲を動くとき,$\tan\theta + {\displaystyle \frac{1}{\tan\theta}}$
$\theta = \mbox{[ケコ]°}$のとき最大値[ サ ]
$\theta = \mbox{[シス]°}$のとき最小値[ セ ]
を取る。

どうやれば解けるかはすぐに思い浮かびます。この「解き方が思い浮かぶ」のが数学の力の重要な部分です。あとは算数の問題。そんなのはコンピュータにやらせればよろしい。記述式なら「解き方が思い浮かんだ」ことを示せば、値が違っても高い得点が与えられます。
しかし、センター試験は穴埋め。算数の部分ができないと数学の能力を証明できません。「とほほ」と思いながら算数しましょう。
(1)より
\begin{displaymath}\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{2}{\sin 2\theta} \end{displaymath}
である。いま$15\mbox{°}\leq\theta\leq 60\mbox{°}$だから$30\mbox{°}\leq 2\theta\leq 120\mbox{°}$$\theta$がこの範囲を動くとき
\begin{displaymath}\frac{2}{\sin 2\theta}\mbox{が最小}\Leftrightarrow \sin 2\the......w 2\theta = 90\mbox{°}\Leftrightarrow \theta = 45\mbox{°} \end{displaymath}
で、そのときの値は
\begin{displaymath}\frac{2}{\sin 90\mbox{°}} = \frac{2}{1} = 2 \end{displaymath}
である。
$\theta = \mbox{45°}$のとき最小値2 ([ケコ] = 45、[サ] = 2)
同様に
\begin{displaymath}\frac{2}{\sin 2\theta}\mbox{が最大}\Leftrightarrow \sin 2\the......ow 2\theta = 30\mbox{°}\Leftrightarrow \theta = 15\mbox{°} \end{displaymath}
で、そのときの値は
\begin{displaymath}\frac{2}{\sin 30\mbox{°}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \end{displaymath}
である。
$\theta = \mbox{15°}$のとき最大値4 ([シス] = 15、[セ] = 4)

せぎてつ伝言板
このページの感想をどうぞ!
お名前(匿名OK):

メールアドレス:
最終更新日 : 2001年2月2日(金)
segi@ra2.so-net.ne.jp