数学I・数学A 第3問

数列の問題。受験生時代から数列と相性が良いので簡単に感じました。

第3問(選択問題)(配点 20)
(1) 数列$\{a_n\}$を次のように定める。
\begin{displaymath}a_1=2,\;\;\;a_2=3,\;\;\;a_{n+2} - a_n = 4\;\;\;\;\;(n = 1,\;2,\;3,\;\cdots\cdots) \end{displaymath}
このとき,
\begin{displaymath}a_3 = \mbox{[ア]},\;\;\;a_4 = \mbox{[イ]},\;\;\;a_5 = \mbox{[ウエ]},\;\;\;a_6 = \mbox{[オカ]} \end{displaymath}
であり、$a_{40} = \mbox{[キク]}$である。

ふつう漸化式は$a_{n+1} = \alpha a_n + \beta$と隣接する二項の関係を表すことが多いですが、ここでは$a_{n+2} - a_n = 4$と一つ飛ばした項の関係が与えられてます。どんな数列になるのかやってきましょう。
漸化式$a_{n+2} - a_n = 4$が与えられてるので$a_3$$a_4$$a_5$$a_6$を求めるのは簡単です。漸化式をちょっとだけ変形して$a_{n+2} = a_n + 4$としとけば解りやすいですか。
\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccc}a_3 & = & a_1 + 4 & = & 2 + 4 & = & ...... = & 10 \\a_6 & = & a_4 + 4 & = & 7 + 4 & = & 11\end{array}\end{displaymath}
$a_3 = \mbox{[ア]} = 6,\;\;\;a_4 = \mbox{[イ]} = 7,\;\;\;a_5 = \mbox{[ウエ]} = 10,\;\;\;a_6 = \mbox{[オカ]} = 11$
幾つか値を求めたので数列$\{a_n\}$の性質が解ってきました。数列を奇数項と偶数項に分けると
奇数項からなる数列$\{a_1,\;a_3,\;a_5,\;\cdots\}$は初項$2 (=a_1)$、公差4の等差数列
偶数項からなる数列$\{a_2,\;a_4,\;a_6,\;\cdots\}$は初項$3 (=a_2)$、公差4の等差数列
になることが解るでしょう。漸化式で一つ飛ばしに項を決めてく効果はこう表れました。
求めようとしている$a_{40}$は偶数項なので、初項3、公差4の等差数列の20番目の項になるのは御理解いただけますか。初項$a$、公差$d$の等差数列の$n$番目の項が$a + (n-1)d$で表されるのを御存知であれば、
$a_{40} = 3 + (20 - 1)\cdot 4 = 3 + 19\cdot4 = 3 + 76 = 79$
$a_{40}$が求まります。
$a_{40} = \mbox{[キク]} = 79$
この問題は漸化式まで与えていきなり「$a_{40}$を求めよ。」で成立します。もし設問がそのようになってても、数列の性質を調べるために$a_3$$a_4$$a_5$$a_6$ぐらいは計算するでしょう、というか性質が解らないんだったらそうすべきです。
$a_3$$a_4$$a_5$$a_6$を求めよ」という誘導の部分は「$n$の問題が出てきたら、取り敢えず$n$に値を入れて計算してみろ」という鉄則を教えてくれてます。そのうえ、教えにしたがってやってみた部分に点数までくれます。とても親切ですね。

また,
\begin{displaymath}\sum_{k=1}^{40} a_k = \mbox{[ケコサシ]} \end{displaymath}
である。

$\{a_n\}$がどんな数列か解ってるのでもう簡単ですね。計算しましょう。
\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{40} a_k & = & a_1 + a_2 + \cdots + a_{39} + a_{40......& & \mbox{} + (\mbox{初項3、公差4の等差数列の第20項までの和})\end{eqnarray*}
とここまで調子良く計算してきてハタと手が止まりました。等差数列の和の公式ってどんなんでしたっけ?
ちょっと思い出す努力をしてみましたが覚えてないので導いてみました。こうやります(去年も導いてた気がする)。
\begin{displaymath}\begin{array}{rrcccccccccc}& S_n & = & a & + & (a+d) & + &......& \cdots & + & \{2a + (n-1)d\} & + & \{2a +(n-1)d\}\end{array}\end{displaymath}
だから
\begin{eqnarray*}2S_n & = & n\{2a + (n-1)d\} \\& = & 2na + n(n-1)d \\S_n & = & na + \frac{n(n-1)}{2}d\end{eqnarray*}
となります。
さて、これで計算が続けられます。
\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{40}a_k & = & (\mbox{初項2、公差4の等差数列の第20.....ot 4) \\& = & 20(5 + 76) \\& = & 20\cdot 81\\& = & 1620\end{eqnarray*}
これで値が求まりました。
${\displaystyle \sum_{k=1}^{40} a_k} = \mbox{[ケコサシ]} = 1620$

(2) 数列$\{b_n\}$の各項から定数$c$を引いて得られる数列は,公比2の等比数列である。$b_3 = 7$$b_4 = 11$であるとき,
\begin{displaymath}c = \mbox{[ス],}\;\;\;\;\;b_1 = \mbox{[セ]} \end{displaymath}
である。

$\{b_n\}$から$c$を引いて得られる数列が公比2の等比数列だと言ってるので
\begin{eqnarray*}b_4 - c & = & 2(b_3 - c) \\11 - c & = & 2(7 - c)\end{eqnarray*}
が言えます。
これを解いて$c = 3$を得ます。勘の良い人なら計算しないでも解りますね。
$c = \mbox{[ス]} = 3$
$b_1$はどうやって求めても良いですが
\begin{displaymath}b_3 - 3 = 2(b_2 - 3) = 2\cdot 2(b_1 - 3) = 4(b_1 - 3) \end{displaymath}
が言えるので
\begin{eqnarray*}4(b_1 - 3) & = & b_3 - 3 \\& = & 7 - 3 \\& = & 4 \\b_1 - 3 & = & 1 \\b_1 & = & 4\end{eqnarray*}
となります。
$b_1 = \mbox{[セ]} = 4$

また,
\begin{displaymath}\sum_{k=1}^{10} b_k = \mbox{[ソタテツ]} \end{displaymath}
である。

$\{b_k\}$が単なる等比数列でないところから、この単純な計算が問題として成立するわけですが、そこさえ踏まえれば簡単です。
$\{b_n\}$の各項から3を引いて得られる数列は,公比2の等比数列」が解っていて、$b_1$を計算するところで$b_1 - 3 = 1$も判明してるので、その等比数列の初項は1です。
つまり実は、$\{b_n\}$の一般項が解っていて
\begin{eqnarray*}b_n - 3 & = & 1\cdot 2^{n-1} \\
b_n & = & 2^{n-1} + 3\end{eqnarray*}
になります。
この部分も「$b_n = \mbox{[マ]}^{n-\mbox{[ミ]}} + \mbox{[ム]}$である。」みたいな穴埋めにしといてくれると、親切な誘導でありがたいですが、まあそこまで甘えなくても。
あとは単純な計算を残すのみ。
\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{10} b_k & = & \sum_{k=1}^{10}(2^{k-1} + 3) \\&......rac{2^{10} - 1}{2 - 1} + 30 \\& = & 1023 + 30 \\& = & 1053\end{eqnarray*}
${\displaystyle \sum_{k=1}^{10} b_k} = \mbox{[ソタテツ]} = 1053$
計算途中で等比数列の和の公式$S_n = {\displaystyle a\frac{r^n - 1}{r - 1}}$を使ってます。これは覚えてるのでそのまま使いました。
等比数列の和と公平を期すために導くとすれば
\begin{displaymath}\begin{array}{rrcccccccccccc}& S_n & = & a & + & ar & + & ...... \\& (1-r)S_n & = & a & & & & & & & & & - & ar^n\end{array}\end{displaymath}
から
\begin{eqnarray*}(1-r)S_n & = & a - ar^n \\& = & a(1 - r^n) \\S_n & = & a\frac{1-r^n}{1-r} \\& = & a\frac{r^n - 1}{r - 1}\end{eqnarray*}
となります。
両辺を$1-r$で割るときに$r\neq 1$を前提にしてますが、まあ公比1の等比数列の和をこの公式で求めることはないので、問題ないでしょう。

せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 2001年2月2日(金)
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