数学I・数学A 第1問 [1]

放物線の問題。図を書いて閃くと計算を少しさぼれます。
第1問(必答問題)(配点 40)
[1] $a$$b$を実数とし,2次関数
\begin{eqnarray*}y & = & 4x^2 - 8x + 5 \cdots\cdots\cdots \mbox{(i)}\\y & = & -2(x + a)^2 + b \cdots\cdots \mbox{(ii)}\end{eqnarray*}
の表す放物線をそれぞれ$C_1$$C_2$とする。
(1) $C_1$の頂点と$C_2$の頂点が一致するとき,
\begin{displaymath}a = \mbox{[ アイ ]}\mbox{,}\;\;\;b = \mbox {[ ウ ]}\end{displaymath}
である。

二つの放物線が与えられました。どんな放物線か図を書いて考えましょう。それにはまず頂点を求めないと。と思っていると最初の問題が頂点に関連してます。なんて親切。
$C_1$の式を変形して
\begin{eqnarray*}y & = & 4x^2 - 8x + 5\\& = & 4(x^2 - 2x) + 5 \\& = & 4\......1\} + 5 \\& = & 4(x - 1)^2 - 4 + 5 \\& = & 4(x - 1)^2 + 1\end{eqnarray*}
となるので、$C_1$の頂点は$(1, 1)$です。これで$C_1$の図が書けます。
問題は$C_2$の頂点が$C_1$と一致するときの$a$$b$の値を求めよと言ってます。下の図のような状況のときの値ですね。
頂点が一致した放物線の図
$C_2$の頂点は$(-a, b)$で、これが$(1, 1)$に一致すれば良いので
\begin{eqnarray*}(-a, b) & = & (1, 1) \\(a, b) & = & (-1, 1)\end{eqnarray*}
$a$$b$が求まります。
$a = \mbox{[ アイ ]} = -1$$b = \mbox{[ ウ ]} = 1$

(2) (i)について,$y = 17$となる$x$の値は[ エオ ]と[ カ ]である。

$C_1$の図を真面目に書いてると答はすぐ解ります。
$C_1$は(1, 1)を頂点としていて、2次の係数が4なので、$x$が軸から1増減すると$y$$4\cdot 1^2 = 4$増加します。だから(0, 5)、(2, 5)を通ります。
同様に$x$が軸から2増減すると$y$$4\cdot 2^2 = 16$増加します。だから(-1, 17)、(3, 17)を通ります。
「ちょっと17までは書けへんなあ。空白ないし・・・」と思ってそこまでキッチリ書くのは断念するんですが「ん? 17 !!」と気が付いちゃいますね。そうです。(i)について$y = 17$となる$x$の値は$x = -1, 3 $です。
答 [ エオ ] = -1、[ カ ] = 3
図を書いてて気が付かなくても大丈夫。あわてず すかさず計算しましょう。$y$に17を代入した方程式を解けば良いです。
\begin{eqnarray*}17 & = & 4x^2 - 8x + 5 \\(4x^2 - 8x + 5) - 17 & = & 0 \\......- 2x - 3 & = & 0 \\(x + 1)(x - 3) & = & 0 \\x & = & -1, 3\end{eqnarray*}
まあ、計算しても簡単ですね。

(ii)についても,$y = 17$となる$x$の値が[ エオ ]と[ カ ]であるとすると,$C_2$の軸は直線$x = \mbox{[ キ ]}$で,頂点の座標は
\begin{displaymath}(\mbox{[ キ ]}, \mbox{[ クケ ]})\end{displaymath}
である。

(ii)も$x = -1, 3 $$y = 17$になると言ってます。どんな感じでしょうか。図にしてみましょう。
y=17で交わる放物線の図
図を書いてみれば解ると思うんですが、$C_2$$x = 1$に対して対称でないと$x = -1, 3 $$y = 17$となることはありません。だから、このとき$C_2$の軸は$x = 1$です。
$x = \mbox{[ キ ]} = 1$
これで$C_2$
\begin{displaymath}y = -2(x - 1)^2 + b
\end{displaymath}
の形をしてるところまで解りました。これが$(3, 17)$を通るので
\begin{eqnarray*}17 & = & -2(3 - 1)^2 + b \\b & = & 2(3 - 1)^2 + 17 \\& = & 2\cdot 2^2 + 17 \\& = & 8 + 17 \\& = & 25\end{eqnarray*}
$b$が求まります。これで$C_2$の頂点の座標は$(1, 25)$だと解ります。
$(\mbox{[ キ ]}, \mbox{[ クケ ]}) = (1, 25)$
もしも対称性の把握に失敗したら計算です。(ii)が$(-1, 17)$$(3, 17)$を通るので
\begin{eqnarray*}17 & = & -2(-1 + a)^2 + b \\17 & = & -2(3 + a)^2 + b\end{eqnarray*}
が成り立ちます。この二式の辺々を引いて
\begin{eqnarray*}0 & = & -2\{(-1 + a)^2 - (3 + a)^2 \} \\0 & = & (a^2 -2a +......2 + 6a + 9) \\& = & -8a - 8 \\a + 1 & = & 0 \\a & = & -1\end{eqnarray*}
$a$が求まり、軸が$x = 1$であることが解ります。あとは同様に$b$を求めて頂点の座標が解ります。

(3) $C_1$$x$軸方向に$c$$y$軸方向に$-4c$だけ平行移動したとき,$y$軸と点$(0, 4)$で交わるのならば
\begin{displaymath}c = \frac{\mbox{[ コサ ]}}{\mbox{[ シ ]}}\end{displaymath}
である。このとき,移動した放物線を表す2次関数の最小値は(i)の最小値より[ ス ]だけ大きい。

$C_1$を平行移動したものが$(0, 4)$を通るそうです。どんな移動ですかね。図形を眺めてちょっと考えてみましょう。
想像用の図
イメージわきません。図で解くのはあきらめて真面目に計算しましょう。
$C_1$$x$軸方向に$c$$y$軸方向に$-4c$だけ平行移動した方程式は
\begin{displaymath}y = 4\{(x - 1) - c\}^2 + 1 - 4c\end{displaymath}
で、これが$(0, 4)$を通るから
\begin{eqnarray*}4 & = & 4\{(0 - 1) - c\}^2 + 1 - 4c \\& = & 4(-1 -c)^2 + 1......4c + 1 & = & 0 \\(2c + 1)^2 & = & 0 \\c & = & -\frac{1}{2}\end{eqnarray*}
$c$が求まります。
${\displaystyle c = \frac{\mbox{[ コサ ]}}{\mbox{[ シ ]}} = \frac{-1}{2}}$
続いて最小値について問われてます。放物線を表す2次関数の最小値は頂点の$y$座標なので、これに着目すれば良いです。
移動後の$C_1$の頂点の$y$座標は
\begin{displaymath}1 - 4c = 1 - 4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 2 = 3\end{displaymath}
で、もともと$C_1$の頂点の$y$座標1よりも2だけ大きいです。
答 [ ス ] = 2
割と簡単でしたね。ウォームアップもすんだという感じでしょうか。

せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 2001年10月28日(日)
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